まずは国家試験お疲れさまでした。病院実習に国家試験と、クリアするのは凄いことです。ご自身を労ってくださいね。
一つの試練をクリアすれば次の試練が見えてきて不安になる気持ちもわかります。人生はその連続ですから。

さて、質問内容ですが
求人を出していない病院への直接の問い合わせは可能です。全く問題ないので連絡してよいです。いま求人がなければ断るだけですので、断られても挫けずにダメもとで行きましょう。もしかしたら急な欠員が出ているかもしれません。求人情報は施設側がアウトプットして初めて情報として出ますので、公表してなかったりタイムラグがある可能性があります。

他のコメントでもありますが、PTOTSTワーカーなど療法士向け就職エージェントに相談してみるのも手です。
社会人経験なく就職エージェントに相談するのは違和感があるかもしれませんが、気にしなくてよいです。また、無料ですので安心してください（就職先が決まった時に就職先がエージェントに報酬を支払うシステムで、働く人は無料です）。希望に沿った就職先がなくとも、働く先の探し方やどのような需要があるのか、今の自分の社会的価値はどれくらいあるのか、給料の相場など様々な相談に乗ってくれます。

経済的な部分は、個人の事情があるので何とも言えない部分もあります。親への仕送りや奨学金の返済もあるかもしれませんしね。
これはワタクシゴトですが、私も家は裕福ではなかったので奨学金を借りれるだけ借りて全て借金で学費を払ってリハビリの学校に行きました。しかし現在は特に貧困に悩むことない経済状況で生活しております。
つまり言いたいことは、お金のことはちゃんと真面目に働いていれば何とかなることが多いです。

だからまずは目の前にある問題をひとつづつクリアしていきましょう。
まずは就職先を探すための電話の一本から！
これからのご活躍を期待しております。

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お話し聞いた限りでは、紹介会社から進めた方が良いと思います。
・非公開での求人が多数ある
・紹介会社のプロが相談に乗ってくれる
・紹介会社が病院提案してくれるから日程決めて病院に行くだけ
・社会人１年目であるならば不当な契約にならないよう第三者にもいてもらえた方が安心（頼めば面接に同席も可能です）

地方ということなので会社ごとに強みや地域差あるので、お勧めは３者同時登録ですが、面倒であれば、１社でも良いと思います。
紹介会社は、PTOT人材バンクが一番大手、PTOTワーカーやマイナビも大手ですね。
自身でスカウト系でやりたいならジョブメドレー一択でしょう。

紹介会社に相談することは
どうゆうところに努めたいのか（病院、施設、在宅など）、通える範囲内にあるのか、交通手段・手当の支給、給与、新人研修制度、もし近くになかった場合住宅手当の補助や寮付か　くらいでしょうか？

１人暮らし自体も不安があると思います。何かと自宅の方が親が世話してくれると思うので、１時間程度移動をしたとしても車や電車を使って勤務された方が合っているように感じます。

また、早い人で就活は１２月くらいから　すでに遅い時期です。みんな見込みで良い所を応募していますので、日が経つことでより厳しくなると思います。　または、見込みの人達が駄目であったときに補填での募集が一部あると思うので今から探しつつ、３/23以降求人枠が一部増える可能性もあります。　　
なので、焦らずに探しても良いのかなと。特に最初ですし、自分に合ったところで働いた方が、長い社会生活において良いと思います。

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あみ様

質問内容拝読させていただきました。
まずは国家試験お疲れ様でした。

「また、求人を出していない病院に対して、電話で直接求人募集の有無を問い合わせるのは失礼にあたらないでしょうか。そのような形でのアプローチは一般的なのでしょうか。」
→こちらの返答として、病院のホームページや養成校の求人票にも求人のお知らせがないような形でしょうか？それでしたら募集されていない可能性が高いかもしれませんね。ただ、病院ホームページの問い合わせなどからメールをいれると先方の都合のいいタイミングで返答いただけますので電話のハードルが高い場合はメールでもいいかもしれません。また、PTOTSTネットや紹介会社は病院側が掲載を依頼しないと掲載されませんのでそちらだけの情報だと募集しているかどうかは不明です。

経済的な余裕がないとのことですが、単身寮のある病院を探すのも手かもしれません。
法人が所持している寮であればかなり安価で住めるため、一人暮らしも可能かと思われます。
当院は新卒で単身寮に入り、数年貯金をしてから自身の住みたい土地や内観で決めるスタッフもいますね。

あみさんの投稿から見ると
1．地元の病院に電話かメールで聞いてみる。枠がありそうならそのまま就職面接！
2．1がダメなら寮のある病院を探してみる（自力で探すのが難しいなら紹介会社を使用するのも手です。PTOTSTワーカーなど）
3．いろいろ考えているのはそれだけ自身と問答出来ている証拠です。動き出せばあっという間ですよ。

国家試験合格点を越えているのであれば今回の診療報酬改定の影響もあり求人を継続している病院は結構多いと思われます。
あみさんと同じように悩んでいる学生さんは多くいて日に日に空いていたはずの枠も埋まっていってしまう可能性があります。

善は急げです。まずは地元の病院に連絡をしてみましょう。

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